4. A zaj, mint információforrás

150 évvel ezelőtt Robert Brown skót botanikus ingadozási jelenségekre figyelt fel az életfolyamatok mikroszkopikus tanulmányozása során. A mikroszkópban látható – véletlenszerűnek tűnő és később felfedezőjéről elnevezett – mozgás fizikai természetét azonban hosszú ideig nem ismerték el. Például Darwin 1876-ban tudományos önéletrajzában így írt: „…A Beagle útja előtt kétszer vagy háromszor meglátogattam (Brownt), és egyszer megkért, nézzek bele a mikroszkópjába, és írjam le, amit látok. Engedelmeskedtem, azt hiszem, a protoplazma csodálatos áramlását láttam egy növényi  sejtben. Kérdésemre azt válaszolta…” „Ez az én kis titkom…”

Az 1870-es években kezdett kialakulni az a nézet, hogy a Brown-mozgás különösen jól észlelhető a kolloid oldatokban. A – szó szerint mikroszkopikus – Brown-részecske tömege ugyanis sokkal nagyobb, mint az azt körülvevő oldószer-molekulák tömege, és a megfigyelhető mozgás a kis molekulák mozgásának eredője. A Brown-mozgás elemi elméletét Einstein és Smoluchowski dolgozták ki a század első évtizedében, kiszámítván a Brown-részecske kiinduló helyzetétől való négyzetes eltávolodása várható értékének időbeli változását, továbbá a részecske mozgékonysága és a makroszkopikus (!) diffúzió állandója közötti összefüggést. A kolloid oldatok heterogén természetének, azaz annak, hogy az anyag diszkrét természetű (legalábbis atomi-molekuláris szinten!), és így az Einstein–Smoluchowski-elmélet a kísérleti igazolása 1925–26-ban a kolloidkémikusok számára három Nobel-díjat eredményezett (Zsigmondy, Svedberg, Perrin). A Brown-mozgással kapcsolatban dolgozták ki az ingadozáselmélet alapjait (Uhlenbeck, Ornstein, Wang, 1930–1945), amely, bár ma sem tekinthető teljesen zárt fizikai és matematikai elméletnek, számunkra mégis nagyon hasznos.

Lars Onsager hívta fel először a figyelmet 1931-ben arra, hogy az egyensúly körüli spontán ingadozások és a nemegyensúlyi szakaszban lejátszódó disszipációs folyamatok egymással szoros kapcsolatban vannak. Gyakorlati szempontból ebből az következik, hogy ha a nemegyensúlyi szakasz olyan gyors, hogy ott méréseket nem lehet végezni, akkor a folyamat lefutásáról az egyensúly körüli ingadozás mértékéből is lehet dinamikai információt szerezni. A nemegyensúlyi folyamat és az egyensúly körüli ingadozás közötti összefüggésre fluktuáció-disszipáció tételként szokás hivatkozni, bár a megfigyelés matematikai szempontból megnyugtató általános megfogalmazása nem ismert. Noha a pontos matematikai megfogalmazásra szükség lenne – például azért, hogy az alkalmazások területét tetszőleges, tér-időbeli folyamatokra is ki lehessen terjeszteni –, az elmélet jelenlegi fejlettségi szintje mellett is számos területen lehet a mérési zajokat elemezni.

A fizikai rendszerek diszkrét – tehát atomi-molekuláris szerkezetű – voltának következtében fellépő ingadozásokat meg kell különböztetni a mérőberendezés saját zajától. Ez utóbbiak – valóban zavaró – hatását a kísérleti körülmények megfelelő megválasztásával és/vagy matematikai technikával (pl. a holográfiában is alkalmazott Wiener-szűréssel) lehet csökkenteni.

 

A nukleáris reaktorokban lejátszódó láncreakciókat azok egy egyszerű sztochasztikus modelljének segítségével fogjuk tanulmányozni. Azt a sztochasztikus folyamatot vizsgáljuk, ami minden t 0 időpillanatban megadja a neutronok számát. A neutronok számának ingadozásából meghatározhatóak a folyamat dinamikai paraméterei.

A neutronok számát a t időpillanatban a P_n(t)  valószínűség-eloszlással jellemezhetjük. P_n(t)  annak a valószínűsége, hogy a t időpontban a rendszer éppen n számú neutront tartalmaz.

Tegyük a következő egyszerű és kézzelfogható feltevéseket a neutronok számát befolyásoló folyamatokra:

 

I. a rendszerhez nem csatlakozik külső neutronforrás,

II. a reaktorban hasadási és elnyelődési folyamatok játszódnak le, adott valószínűségekkel,

III. a neutronok átalakulása független a neutronok „korától”,

IV. a neutronok kezdeti száma pozitív (legyen éppen D).

 

Ezen feltevések alapján a P_n(t)  abszolút folytonos eloszlásokra (Kolmogorov-féle) differenciálegyenletek írhatók fel. A differenciálegyenletek megoldásának következményei közül kiemeljük, hogy:

I. A P_n(t)  sztochasztikus folyamat Σ_n=1nP_n( t) = m(t) várható értéke, tehát a neutronok átlagos száma:

 

m(t) = De^(λ–μ)t (4.1)

 

A neutronok számának ezen várható értéke a λ hasadási és a μ elnyelődési állandók különbségétől így függ: ha λ > μ, akkor a várható érték exponenciálisan nő, ha λ < μ, akkor exponenciálisan csökken t függvényében. Abban a speciális esetben, ha λ és μ megegyeznek, a reaktortechnika terminológiájával a reaktor kritikus állapotban van (helyesebben mondva, a reaktor kritikus működésű), a sztochasztikus folyamat várható érték állandó, éppen a kiinduló neutronok száma:

 

m(t) = D (4.2)

 

II. a folyamat s²(t) szórásnégyzete:

 

s²(t) = (λ + μ)t (4.3)

 

tehát ha λ = μ, úgy

 

s²(t) = 2λt (4.4)

 

azaz az idő előrehaladtával a (ë = ě esetén állandó) várható érték körül egyre nagyobb ingadozások alakulnak ki.

Ezért mondjuk, hogy az a reaktor, amelyben a (4.2) és (4.4) egyenletekkel meghatározott folyamat játszódik le, kritikus működésű.

Reaktortechnikai szempontból nyilvánvaló: nem engedhető meg, hogy az ingadozások túlságosan nagyok legyenek, minthogy ezek nemkívánatos instabilitási jelenségek fellépéséhez vezetnek. Ezért is szokták szabályozni a nukleáris folyamatokat.

 

4.2. ábra. A reaktor kritikus állapotában a neutronok számának m(t) várható értéke az időben állandó, de a folyamat s(t) szórása az idővel nő.

 

A kritikus működésű nukleáris reaktorokban lejátszódó folyamatok ingadozásaiból kiszámítható a hasadási és az „azonos értékű” elnyelődési állandó. Nem kritikus működésű reaktorok fenti értelemben vett várható értékéből csupán a két állandó különbsége határozható meg. Az ingadozásokat is figyelembe véve viszont a két állandó összege – és így a két állandó külön-külön is – meghatározható.

A nukleáris reaktorok zajanalíziséről mondottakat azzal fejezzük be, hogy az I.–IV.-től különböző feltételek mellett is hasonló eljárással végezhetjük el az analízist. Modellezhetünk külső neutronforrással ellátott rendszert, vagy feltehetjük azt is, hogy a hasadási és elnyelődési együtthatók a neutronok aktuális számának függvényei, tehát nem állandók. Ez utóbbi esetben a numerikus eljárás természetesen bonyolultabb lesz.

 

A kémiai „történéssel” foglalkozó kutató egyik legfontosabb feladata az, hogy megállapítsa, a vizsgálandó rendszerben milyen sebességgel játszódnak le a kémiai reakciók. A reakciókinetika klasszikus módszere szerint össze kell keverni a reakciópartnereket, majd a kísérletezőnek követnie kell a rendszerben levő kémiai komponensek mennyiségének időbeli változását. A klasszikus módszer azonban a gyors reakciók vizsgálatára nem alkalmas, minthogy a reakció sokkal gyorsabb, mint a keverés. A gyors reakciók vizsgálatára szolgáló kísérleti technikák kidolgozásáért a hatvanas évek közepén három kémikus is Nobel-díjat kapott (Norrish, Porter, Eigen). Az elektrolitokban lejátszódó ionreakciók – amelyeknek időtartama 10^–7 másodpercnél kisebb – a gyorsreakciók alaptípusai. Az ilyen reakciók vizsgálatára szolgál a Manfred Eigen nevével fémjelzett relaxációs módszer, amelynek lényege, hogy az egyensúlyt valamelyik intenzív mennyiség ugrásszerű megváltoztatásával hirtelen megbontják, és a kinetikai állandók korlátozott számú függvényét az újonnan kialakuló egyensúlyhoz tartozó relaxációs folyamatból határozzák meg. A relaxációs technika gyakorlati szempontból sokkal hasznosabb, mint a korábban kidolgozott technikák, de elméleti alapjai két szempontból sem megnyugtatóak. Egyrészt: az intenzív mennyiség ugrásszerű megváltoztatása – a perturbáció – a fizikai és a kémiai egyensúlyt is megbontja. A fizikai és a kémiai relaxációs folyamatok együttes kezelése elméletileg nehéz, a szokásos kiértékelési eljárások nem is teljesen korrektek. Másrészt a perturbáció okozta koncentrációváltozás nagyságára ellentétes követelmények vonatkoznak: egyfelől igen kicsinek kell lennie, hogy a relaxációra vonatkozó egyenletek linearizálhatók legyenek, másfelől elegendően nagynak, hogy az egyensúly körüli ingadozással – ami pedig a rendszer saját tulajdonsága – ne kelljen számolni.

Elvi szempontból a magán az egyensúly körüli ingadozáson alapuló kinetikai mérések a relaxációs technikánál jobbak, minthogy az egyensúly körüli ingadozás spontán perturbációnak és relaxációnak fogható fel, így anélkül is lehet kinetikai információt szerezni, hogy a rendszert külső perturbációval megváltoztatnánk. Nyilvánvaló, hogy pl. in vivo biológiai rendszerekben végbemenő reakciók tanulmányozásakor ez roppant fontos elvi és gyakorlati előnyt jelent.

Felmerül a kérdés, hogy mérhetők-e a koncentrációingadozások, és ha igen, azok milyen információt tartalmaznak.

 

A koncentrációingadozás mérésére szolgáló eljárások elvileg két nagy osztályba sorolhatók. Az indirekt mérések eredetileg nem kinetikai, hanem a kémiai szerkezetre vonatkozó sztatikus mérések, amelyekben a kémiai reakció okozta koncentrációingadozások hatása mint „zavar” jelenik meg. A direkt mérések a kémiai komponensek mennyiségváltozását követik.

Az indirekt mérési eljárások azt a tényt használják ki, hogy a reális spektrumvonalak eltérnek az ideális spektrumvonaltól, és az eltérést a vizsgált rendszerben lejátszódó kölcsönhatások okozzák. Ilyen kölcsönhatás eredménye a kémiai reakció is. Fontos feladat a kémiai reakció hatásának specifikussá tétele, azaz a többi kölcsönhatás kísérleti és elméleti úton történő kiszűrése.

A legelterjedtebb indirekt mérési eljárások a mag-mágnesrezonancia spektrumok vonalszélesedésével kapcsolatosak, alkalmazási területük azonban viszonylag korlátozott.

Egy másik – újabban divatos – technika a reagáló elegyek fényszóródási spektrumának elemzésén alapul. A fényszóródási spektrum alakját leíró függvény tartalmazza a dielektromos állandó ingadozását. Ez az ingadozás viszont tükrözi a komponensek mennyiségének ingadozását, feltéve, hogy a reagens- és a termékkomponensek polarizálhatósága különbözik. Az utóbbi évtizedben ezzel a módszerrel meghatározták 0,1–1 mólos elektrolitoldatokban lejátszódó asszociációs-disszociációs reakciók, ill. makromolekulák konformációs reakciói sebességi állandóit.

Az ingadozások direkt mérése a ma és a közeljövő technikája mellett nem irreális feladat. Különösen az optikailag aktív rendszerek mérése egyszerű, hiszen az abszorpció, a fluoreszcencia, a cirkuláris dikroizmus, a rotációs diszperzió és a Raman-spektroszkópia használata egyaránt lehetségesnek látszik.

Az ún. „fluoreszcencia korrelációs spektroszkópia” módszereivel vizsgálta Madge, Elson és Webb a DNS és az etidium-bromid közötti reakciót. Ez a reakció egyébként nagyon fontos a genetikai kód átírási mechanizmusának felderítése szempontjából. Feher és Weismann 1973-ban a BeSO₄ asszociációs-disszociációs reakcióinak sebességét vezetőképességi méréssel tanulmányozták, így újabb mérési módszert vezettek be a koncentrációingadozások tanulmányozására.

A kémiai rendszerekben fellépő anyagmennyiség-ingadozások a nemegyensúlyi termodinamika fluktuáció-disszipáció tétele segítségével elemezhetők: sokszor az összetett kémiai reakció összes egyedi sebességi állandója is meghatározható.

 

A neurobiológia egyik nagy ága az elemi idegingerületi jelenségeket tanulmányozza. A legfontosabb ilyen jelenség az idegingerületnek az egyik idegsejtről a másik idegsejtre történő, ún. szinaptikus áttevődése.

Csupán egy részletkérdést említünk. Mit lehet mondani a transzmitter-receptor kölcsönhatás kémiai mechanizmusáról és kinetikai részleteiről, figyelembe véve, hogy a kölcsönhatásban szereplő kémiai komponensek mennyisége legtöbb esetben nem mérhető?

A válaszadást azzal a megjegyzéssel kezdjük, hogy az idegélettan Nobel-díjas kutatója, az angol Katz és legközvetlenebb munkatársa, Miledi az 1970-es évek elején közölték, hogy mérték az ingerületet fogadó – az ún. posztszinaptikus – sejt elektromos mennyiségeinek ingadozásait, és azt a kémiai komponensek mennyiségének ingadozására igyekeztek visszavezetni. A mérési módszereket más laboratóriumokban (pl. Leidenben és New Havenben) továbbfejlesztették.

Miután lehetővé vált a posztszinaptikus sejt vezetőképesség-ingadozásának – pontosabban szólva spektrumának – a mérése, a kérdés az, hogy lehetséges-e a mért spektrum és a transzmitter-receptor kölcsönhatás kémiai részleteit leíró mennyiségek (sztöchiometriai együtthatók, sebességi állandók) között összefüggést találni? Ezt a kérdést a fluktuáció-disszipáció tétel szellemében sztochasztikus modellezés segítségével pozitívan fogjuk megválaszolni.

Feltevéseink – a Katz–Miledi-féle kísérlet körülményeivel összhangban – a következők:

 

I. a transzmitter a receptor molekulákkal gyorsan komplexet képez, majd a komplex konformáció-változások sorozatán megy keresztül (megállapítanunk épp azt kell, hogy a komplex hány konformáción megy keresztül, és milyen a konformáció-változások sebessége);

II. a sejtek közötti térben, ill. a sejten belül található elektrolit egyes ionjainak vezetőképessége összegeződik („teljes vezetőképesség”);

III. a teljes vezetőképesség a komplex konformáció-vektorának lineáris függvénye;

IV. úgy szabályozunk, hogy a „szabad” transzmitteranyag mennyisége állandó legyen.

 

Következésképpen:

 

I. alkalmazhatjuk a kémiai reakciókinetika sztochasztikus modelljét;

II. a vezetőképesség-ingadozás három különböző minőségű tényezőtől függ, implicit módon a konformációk számától – (azaz a kölcsönhatás sztöchiometriájától) –, explicit módon pedig a vezetőképességet a konformáció-vektorral összekapcsoló mátrixtól, továbbá a konformációváltozás kinetikai paramétereitől. Megfelelő modellazonosítási eljárásokkal a sztöchiometriai és a kinetikai paraméterek meghatározhatók.

 

Példáinkban – bármennyire különböző területekről vettük azokat – közös, hogy sok, azonos jellegű individuumból álló rendszert tanulmányoztunk úgy, hogy a folyamatokat a hierarchia két különböző szintjén, az egyedek és az egész rendszer szempontjából is vizsgáltuk.

(Megjegyezzük: egy bizonyos jelenség már jó ideje az érdeklődés középpontjában van. Ha az egyedek közötti kölcsönhatás olyan jellegű, hogy az ingadozások felerősödnek, a rendszer instabillá válik. Az ilyen – kooperatív rendszerek a másodrendű fázisátalakulásokkal kapcsolatban lettek ismertek, interdiszciplináris aspektusai szinergetika – vagy a más matematikai apparátussal, de lényegében hasonló gondolati alapon kidolgozott – katasztrófaelmélet néven lettek divatosak.)

A fent tanulmányozott rendszereinket a sztochasztikus folyamatok elméletén alapuló formális elméletekkel (populációdinamika, formális reakciókinetika) lehet tárgyalni. Ezen diszciplínák nyelvén még számtalan más jelenség modellje megfogalmazható (járványterjedés, genetika, ökológia, matematikai pszichológia).

Ilyen rendszerek vizsgálata érdekében a zajanalízist akkor lehetne elvégezni, ha az empirikus „statikus” idősorokba dinamikus modellek segítségével életet lehetne lehelni. Egyes területeken a dinamikus modellek talán már születőben vannak. Következésképpen a „zaj” információforrás lehet: a fluktuáció-disszipáció tétel szelleme érvényesíthető a termodinamikán kívül más hierarchikus rendszerekben is.

 

Pál Lénárd: Miről mesélnek a fluktuációk? Fizikai Szemle, XXVI. 11. (401–407.) 1976.

Pellionisz Péter: Amikor a zajok segítenek a mérésben. Fizika'78, Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1979.

Rényi Alfréd: Sztochasztikus folyamatok a biológiában, I., II. Természet Világa, 1980, 3., 4. sz.

 

Természet Világa, 1984/1. 34–36.